Strategi Pemecahan Masalah Heuristik 3.

Strategi Pemecahan Masalah Heuristik III

(Menelusuri Proses Penyelesaian)

 

Rini Nurhakiki

PENDAHULUAN

            Unit 6 dari bahan ajar cetak ini merupakan implementasi dari konsep-konsep yang telah dikaji dari unit-unit  terdahulu. Dalam unit ini akan dibahas mengenai beberapa strategi dalam pembelajaran pemecahan masalah matematika. Seperti pada unit sebelumnya kita telah mempelajari  hakikat dan proses  pemecahan masalah matematika yang meliputi memahami masalah, menyusun rencana penyelesaian masalah, melaksanakan penyelesaian masalah, dan meninjau kembali jawaban pemecahan masalah.

Setelah mempelajari strategi pemecahan masalah Heuristik III ini diharapkan mahasiswa mampu

1. menggunakan teknik langsung mengerjakan,

2. teknik bekerja mundur ,

3. konsep sebelum dan sesudah.

Unit ini dilengkapi dengan latihan-latihan, agar anda dapat semakin memahami konsep yang dipaparkan. Pelajari unit ini dengan tuntas, kemudian untuk mengetahui  tingkat penguasaaan anda terhadap materi ini, kerjakan tes formatifnya. Untuk membandingkan hasil penguasaan anda terhadap materi ini, dapat anda bandingkan dengan kunci jawaban tes formatif yang berada di bagian akhir unit. Dari hasil perbandingan tersebut, anda bisa mengetahui kemampuan anda sudah memenuhi standart yang dipersyaratkan atau belum. Jika penguasaan anda belum memenuhi standar yang dipersyaratkan, coba pelajari ulang, terutama pada konsep-konsep yang belum anda pahami dengan benar. Jika anda mengalami kesulitan, jangan segan-segan bertanya pada dosen atau rekan anda yang lebih mampu. Manfaatkan sumber belajar lain yang mendukung, misalnya bahan ajar berbasis web yang telah disediakan.

Selamat mencoba, semoga berhasil dengan sukses.

Sub Unit 1

Langsung Mengerjakan (Act It Out)

 

Pada Sub Unit 1 dari Unit 6 akan membahas tentang strategi pemecahan masalah dengan cara menggunakan teknik langsung mengerjakan dengan pemecahan masalahnya disertai contoh. Strategi pemecahan masalah dengan menggunakan teknik langsung mengerjakan dapat dilakukan dengan melakukan aktifitas fisik misalnya dengan memindahkan benda-benda, menggunakan model, atau gambar. Penguasaan prinsip-prinsip dasar dalam pemecahan masalah harus benar-benar ditaati untuk menyelesaikan masalah yang  berkaitan tersebut.

            Strategi  pemecahan masalah ini digunakan untuk menyederhanakan masalah dan memperjelas hubungan antar komponen masalah yang ada. Strategi  ini diupayakan untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan teknik langsung mengerjakan. Untuk menyelesaikan permasalahan ini perhatikan hal-hal yang diketahui, tentukan kaitan dari hal-hal yang diketahui tersebut untuk langsung dikerjakan melakukan aktifitas fisik, menggunakan model, atau gambar. Perhatikan contoh berikut:

Contoh 1:

Baliklah gambar berikut sehingga bagian yang di atas menjadi di bawah dengan hanya memindahkan 3 lingkaran saja.

 

Penyelesaian:

Langkah 1:  Perhatikan susunan lingkaran-lingkaran awal.Untuk memudahkan melihat beri nomor misalnya sebagai berikut. Lingkaran 1 berada di atas, lingkaran 2 dan 3 berada di ujung-ujung bawah.

Langkah 2:   Menyusun rencana menyelesaikan masalah. Untuk menentukan hanya 3 bola yang dipindah beri warna merah pada 2 bola  di bawah bola 1. stategi yang digunakan adalah memindahkan 3 lingkaran secara berurutan secara langsung atau dengan gambar.

Langkah 3:  Melaksanakan pemecahan masalah. Pindahkan lingkaran 1 ke ujung bawah, lingkaran 2 dan 3 secara berurutan diletakkan di samping bola merah..

Langkah 4:  Meninjau jawaban . Ternyata benar gambar akhir diperoleh bagian yang di atas menjadi di bawah dengan hanya memindahkan 3 lingkaran saja.

Contoh 2:

Diagram di bawah ini menunjukkan 5 persegi yang dibentuk dari 16 batang korek api, pindahkan 3 batang korek api sehingga membentuk 4 persegi.

 

Penyelesaian:

Langkah 1:  Memahami permasalahan yaitu ada  diagram  menunjukkan 5 persegi yang dibentuk dari 16 batang korek api. Kita diminta memindahkan 3 batang korek api sehingga membentuk 4 persegi.

Langkah 2:  Menyusun strategi pemecahan masalah dengan mengerjakan secara  langsung.

Langkah 3:  Melaksanakan penyelesaian masalah membentuk persegi 3 pada gambar b,dengan memindahkan 2 korek api pada persegi 1 dan 1 korek api pada persegi 3 dari gambar a, sehingga diperoleh gambar b.

Langkah 4: Setelah dilakukan pengecekkan ternyata 4 persegi pada gambar b diperoleh dengan cara memindahkan 3 korek api pada gambar  a.

 

                        Gambar a                                                                   gambar b

@   Latihan :

            Untuk memantapkan pemahaman Anda terhadap materi di atas, coba kerjakan latihan berikut ini!

1. Pak Danu ingin membuat kandang ayam yang berbentuk persegi panjang. Jika diketahui pagar yang tersedia  kelilingnya 24 m, berapa-kah ukuran panjang dan lebar kandang ayam Pak Danu, supaya luasnya maksimum.
2. Di sekeliling lapangan olah raga yang berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 40 m dan lebar 32 m. Sekeliling lapangan akan ditanami pohon dengan jarak 4 m. Berapa banyaknya pohon yang harus ditanam di sekeliling lapangan tersebut. 
3.  

F   Petunjuk Jawaban Latihan :

1. Anda cermati kembali teori tentang proses pemecahan masalah dengan Menggunakan Teknik Langsung Mengerjakan,

a)      Untuk soal nomor 1, buatlah persegi panjang dengan menggunakan sedotan atau batang korek api, anggap 1 korek api atau 1 sedotan untuk  menunjukkan panjang 1 m, tentukan persegi panjang dengan ukuran berapa supaya luasnya maksimum.

b)     Untuk soal nomor 2 anda dapat membuat model persegi panjang dengan ukuran 40 x 32, tancapkan model-model pohon dengan jarak 4 satuan, hitung berapa banyaknya pohon yang harus ditanam di sekeliling lapangan tersebut.

c)      Untuk soal nomor 3 ambil batangan korek api, susunlah seperti berikut, pindahkan korek api yang berwarna merah, sehingga anda membentuk persegi-persegi lainnya.

 

ÿ   Rangkuman

                                 

@   TES FORMATIF 1   

            Kerjakan tes formatif 1 ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi  strategi pemecahan masalah matematika dengan  menggunakan strategi mengerjakan langsung.

1.

2. Pindahkan 1 batang kotek api sehingga pernyataan di bawah ini benar.

3. Di sepanjang tepi jalan sepanjang 1 km akan ditanami pohon. Jika jarak antar pohon 5 m, berapakah banyaknya pohon yang harus disediakan.

4.

5.  Bagaimanakah anda membuat  2 persegi dan 8 segitiga dari 8 batang sedotan.

Sub Unit 2

Menggunakan Teknik Bekerja Mundur (Backward Work)

 

Sub Unit 2 dari Unit 6 akan membahas tentang strategi pemecahan masalah dengan cara menggunakan teknik bekerja mundur dengan pemecahan masalahnya disertai contoh. Strategi pemecahan masalah dengan menggunakan teknik bekerja mundur merupakan salah satu dari strategi pemecahan masalah matematika yang cara menyelesaikan dari belakang ke depan artinya dari hal-hal yang diketahui di akhir soal menuju awal soal. Soal-soal yang diberikan melibatkan suatu rangkaian operasi di mana hasil akhir dari operasi tersebut sudah diketahui dan yang ditanyakan adalah kondisi awal dari soal tersebut. Perhatikan contoh-contoh berikut:

Contoh 1.

Ada beberapa orang menaiki bis, penumpang turun pada pemberhentian pertama, dan  7 orang naik. Pada pemberhentian kedua orang turun dan 5 orang naik. Jika sekarang ada 25 penumpang, ada berapa penumpang yang menaiki bis pertama kali.

Penyelesaian:

Langkah 1: Memahami masalah. Beberapa orang yang naik bis.

         Pada pemberhentian I penumpang turun  nya dan naik 7 orang.

         Pada pemberhentian II penumpang turun nya dan naik 5 orang.

         Sekarang penumpangnya sebanyak 25 orang.

         Ditanyakan banyaknya penumpang mula-mula.

Langkah 2:  Strategi yang digunakan adalah bekerja mundur, karena diketahui jumlah penumpang terakhir dan yang ditanyakan banyaknya penumpang mula-mula.

Langkah 3:  Menyelesaikan masalah.

Penumpang terakhir 25 orang, berarti pada pemberhentian kedua sebelum penumpang naik 5 orang, penumpangnya 20 orang.

Sebelum turun di pemberhentian kedua banyaknya penumpang dapat dicari sebagai berikut:

4 unit                20

Yang diarsir yang turun. Sebelum turun di pemberhentian ke 2 penumpang sebanyak 25

5 unit                 25

Pada pemberhentian pertama sebelum naik 7 orang banyaknya penumpang

25 - 7 =18

2 unit              18

3 unit               27

Banyaknya penumpang pertama ada 27 penumpang.

Langkah 4: Peninjauan jawaban.

                     Penumpang pertama 27 orang turun menjadi 18, kemudian naik 7 orang menjadi 25. Pada pemberhentian kedua turun nya menjadi 20 karena ada yang naik 5 orang menjadi 25 sebagai penumpang terakhir. Sehingga benar bahwa penumpang pertama 27 orang.

Contoh 2.

Sebuah bola basket dijatuhkan dari atas bangunan yang tinggi. Setiap jatuh ke lantai memantul setinggi dari ketinggian sebelumnya. Jika pada pantulan keempat tingginya 1,6 m. Berapakah ketinggian bangunan tersebut.

Penyelesaian:

Langkah 1: Memahami masalah.

                     Bola dijatuhkan dari atas bangunan, setiap pantulan setinggi dari ketinggian sebelumnya. Pada pantulan keempat tingginya   1,6 m. Ditanyakan ketinggian bangunan.

Langkah 2:  Strategi yang digunakan adalah bekerja mundur, karena yang diketahui pantulan keempat dan ditanyakan tinggi bangunan di mana bola basket dijatuhkan pertama kali.

Langkah 3:  Menyelesaikan masalah.

Ketinggian pantulan ketiga = 1,6 x 4 = 6,4

Ketinggian pada pantulan kedua = 6,4 x 4 = 25,6.

Ketinggian pada pantulan pertama = 25,6 x 4 = 102,4

Ketinggian gedung = 102,4 x 4 = 409,6

Jadi bola tersebut dijatuhkan dari ketinggian 409,6 m.

Langkah 4:  Memeriksa jawaban dari kondisi awal ke kondisi akhir.

                     Dari ketinggian 409,6m bola dijatuhkan. Ketinggian pantulan pertama dari 409,6m sama dengan 102,4m. Ketinggian pantulan kedua dari 102,4m sama dengan 25,6m. Ketinggian pada pantulan ketigadari 25,6m sama dengan 6,4m. Ketinggian pada pantulan ke empatdari 6,4m sama dengan 1,6m. Ternyata sesuai.

@   Latihan :

1. Dina membeli baju di toko, ia membayar Rp.60.000,00 setelah mendapat diskon 25%. Berapakah harga baju sebelum mendapat diskon.
2. Air di dalam bak mandi setelah berkurang 20% volumenya menjadi 680 liter. Berapakah volume bak mandi .
3. Ada sembilan bilangan. Jika salah satu di antara kesembilan bilangan di buang, dan bilangan yang dibuang tersebut adalah 2. maka rata-rata delapan bilangan yang tinggal adalah 6 , berapakah rata-rata sembilan semula?

ÿ   Rangkuman

                                 

@   TES FORMATIF 2

            Kerjakan tes formatif ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi  strategi pemecahan masalah matematika dengan cara sesuai dengan langkah yang telah anda pahami.

1. Joni, Budi, Candra dan Doni , ingin menambah uang sakunya pada waktu liburan dengan mencuci mobil. Joni mencuci sebanyak 2 kali mobil Budi. Budi mencuci 6 mobil lebih sedikit dibandingkan Candra. Candra mencuci 8 mobil lebih banyak dibanding Doni. Doni mencuci 9 mobil . Berapa jumlah mobil yang dicuci Joni, Budi dan Candra semuanya?

2. Pak Toni memberi uang kepada Rudi. Rudi membelanjakan separuh uangnya pada hari pertama. Kemudian membelanjakan lagi dari dari sisa uangnya pada hari berikutnya. Sekarang uangnya tinggal Rp.120.000,00. Berapa rupiah Pak Toni memberi uang kepada Rudi.?

3. Rata-rata tes matematika 19 siswa adalah 60, karena ada 1 siswa tes susulan rata-ratanya menjadi 62. Berapakah skor siswa yang ikut tes susulan. 

4.      Gaji Udin 50%nya ditabung, uang yang ditabung besarnya 2 kali uang untuk makan, uang untuk makan Rp 500.000,00 lebih banyak dibandingkan untuk trasport. Sisanya untuk keperluan lain-lain sebesar Rp 500.000,00, yang besarnya sama dengan anggaran untuk transport. Berapakah gaji Udin?  

5. Nila membeli baju di toko, ia membayar Rp.108.000,00 setelah mendapat diskon 10%. Berapakah harga baju sebelum mendapat diskon.

Sub Unit 3

Menggunakan Teknik Konsep sebelum dan sesudah

 ( before –after concept)

 

Sub Unit 3 dari Unit 6 akan membahas tentang strategi pemecahan masalah dengan cara menggunakan teknik konsep sebelum dan sesudah dengan pemecahan masalahnya disertai contoh. Strategi pemecahan masalah dengan menggunakan teknik konsep sebelum dan sesudah merupakan salah satu dari strategi  pemecahan masalah matematika yang penyelesaiannya memperhatikan hal-hal sebelum kejadian dan setelah kejadian. Kadang-kadang dalam beberapa masalah  bisa menggunakan lebih dari satu cara. Perhatikan contoh 1 berikut ini menggunakan gambar dan konsep sebelum dan sesudah:

Contoh 1

Edi mempunyai pita yang panjangnya 6 kali pita Bayu. Setelah Edi memberikan 75 cm pitanya kepada Bayu, ia mempunyai pita yang panjangnya tiga kali panjang pita Bayu. Berapakah panjang pita keduanya sekarang?

 Penyelesaian:

Langkah 1: Memahami masalah.

Sebelum : Pita Edi 6 kali pita Bayu.

Sesudah: Edi memberikan 75 cm kepada Bayu, pita Edi   menjadi 3 kali pita Bayu.

Ditanyakan panjang pita Edy dan Bayu sekarang

Langkah2: Penyelesaiannya menggunakan strategi konsep sebelum dan sesudah.

Langkah 3: Menyelesaikan masalah.

Sebelum 

Edi :

Bayu:

Sesudah:

Edi:

Bayu:    

Perhatikan gambar di atas diperoleh.

3 unit  è 75 x 4 = 300

1 unit  è 300 : 3 = 100

7 unit  è 100 x 7 = 700

Jadi panjang pita keduanya 700 cm.

Langkah 4: Untuk memeriksa hasil kita dapat menggunakan gambar.

Jika pajang pita keduanya diperoleh 700 cm, berarti sebelumnya pita Edi 600 cm dan pita Bayu 100 cm. Setelah diberikan kepada Bayu 75 cm, pita Edi menjadi 525 cm, pita Bayu menjadi 175 cm, ternyata benar pita Edi panjangnya 3 kali pita Bayu.

Contoh 2:

Uang Wima  dua kali uang Vemi. Setelah Wima membelanjakan uangnya 70% dan Vemi membelanjakan uangnya sebesar Rp.110.000,00 , sisa uang mereka sama. Berapa uang Wima yang dibelanjakan.

Penyelesaian:

Langkah 1: Memahami masalah.

                     Uang Wima 2 kali uang Vemi

                                                         Setelah Wima membelanjakan uangnya 70% dan Vemi membelanjakan uangnya sebesar Rp.110.000,00 , sisa uang mereka sama.

Ditanyakan uang Wima yang dibelanjakan.

Langkah 2: Strategi menggunakan konsep sebelum dan sesudah.

Langkah 3: Penyelesaian masalah

Sebelum

 Wima             

Vemi

Sesudah

Wima

                                                                                   

                        sisa                 70% dibelanjakan

Vemi

                       sisa         110 ribu dibelanjakan

Dari sketsa dapat dilihat sisa uang Wima dan Vemi sama

Berati yang dibelanjakan

Vemi :      2 bagian                     110.000

Wima:      7 bagian                      =385.000

Jadi Wima membelanjakan uangnya sebesar Rp.385.000,00

Langkah 4 :Untuk memeriksa hasil dapat dilakukan sebagai berikut:

Sebelum dibelanjakan uang Vemi .000

                                    Uang Wima

Ternyata benar sebelumnya uang Wima dua kali uang Vemi.

Contoh 3 ;

Rata-rata sembilan bilangan adalah 7. Jika satu di antara sembilan bilangan tersebut dibuang rata-ratanya menjadi 7,5. Tentukan bilangan yang dibuang tersebut.

Langkah 1: Memahami masalah.

Rata-rata sebilan bilangan 7.

Salah satu bilangan dibuang.

Rata-rata menjadi 7,5.

Ditanyakan bilangan yang dibuang.

Langkah 2: Strategi menggunakan konsep sebelum dan sesudah.

Langkah 3: Penyelesaian masalah

Sebelum      :Ingat bahwa rata-rata adalah jumlah dari semua bilangan dibagi dengan banyaknya bilangan. Diketahui rata-rata sembilan bilangan adalah 7, berarti jumlah sembilan bilangan tersebut adalah 9 X 7 = 63.

Sesudah      : Setelah dibuang satu bilangan rata-ratanya menjadi 7,5 , berarti jumlah delapan bilangan yang tersisa 8 X 7,5 = 60. Jadi bilangan yang dibuang 63 - 60 = 3.

Langkah 4 :Untuk memeriksa hasil dapat dilakukan sebagai berikut:

Jumlah sembilan bilangan 63 jika dibuang 3 menjadi 60. Karena tinggal 8 bilangan berarti rata-ratanya adalah 60 : 8 = 7,5.

Ternyata benar setelah diambil satu bilangan rata-rata menjadi 7,5.

Untuk menyelesaikan soal nomor 3 ini dapat juga menggunakan Teknik Bekerja Mundur (Backward Work)

@   Latihan :

1 Perbandingan perangko Vico dan Wima mula-mula adalah 4:1. Pak Romi memberi Vico 11 perangko dan Wima 6 perangko. Perbandingan perangko Vico dan Wima menjadi 3:1. Berapa banyaknya perangko Vico  sebelum diberi Pak Romi?

2. Pada tahun 2004 umur Dona dua per tiga umur Doni tahun 2010 umur Dona tiga perempat umur Doni. Berapa umur mereka masing-masing pada tahun 2010?

ÿ   Rangkuman

                                 

@   TES FORMATIF 3

1. Joko tidur pukul 09.20 tadi malam dan bangun pagi pukul 04.35. Berapa lama Joko tidur.

2. Tiga tahun yang lalu umur seorang ayah 9 kali umur anaknya. Dua tahun lagi umur ayahnya 4 kali anaknya. Berapa tahun umur ayah dan anaknya masing-masing sekarang?

3. Ada dua bak mandi, bak A ukurannya 1m x 0,5m x  0,6m dan bak B ukurannya 0,8 m x 0,6 m x 0,6 m. Secara bersamaan bak A diisi dengan air dengan kecepatan 30 liter /menit, dan bak B diisi dengan kecepatan 400 cc/ detik. Jika bak B sebelumnya sudah terisi 10 liter. Manakah yang lebih cepat penuh bak A ataukah B?  

4. Semula uang Fahri dua kali uang Zaki. Setelah ayah memberi uang tambahan pada Zaki Rp.50.000,00, Uang Fahri satu setengah kali uang Zaki. Berapa uang Fahri dan Zaki masing-masing sebelumnya?      .

5. Perbandingan banyaknya prangko yang dimiliki Juwita dan Sinta adalah 5:3. Jika Juwita memberi 120 prangko pada Sinta. Rasio perangko mereka menjadi 11: 13. Berapa banyaknya perangko yang dimiliki Juwita mula-mula? 

DAFTAR RUJUKAN :

Lenchner George, (2008) Creative Problem Solving in School Mathematcs” 2^ndEdition. :New York.

Leng Wee, Problem Solving Heruistics for Primary School Mathematics A Comprehensive Guide,(2008). Prentice Hall is an imprint of  Pearson Education :South Asia.

Siswanto Hery, dkk.(2006).  Napak Tilas Olimpiade Sains Nasional Matematika SMP; Penerbit Universitas Negeri Malang: Malang

Tim Supermath, (2007) ”Strategi Pemecahan Masalah Matematika SD” :Jakarta

Glosarium

Act it out (Teknik Langsung Mengerjakan)

Strategi pemecahan masalah dengan menggunakan teknik langsung mengerjakan  yang dapat dilakukan dengan melakukan aktifitas fisik, menggunakan model, atau gambar

Backward Work (Teknik Bekerja Mundur)

Salah satu strategi pemecahan masalah matematika adalah dengan cara dengan menggunakan teknik bekerja mundur yang cara menyelesaikan dari belakang ke depan artinya dari hal-hal yang diketahui di akhir soal menuju awal soal.

Before –after  concept (Teknik sebelum dan sesudah)

Salah satu strategi pemecahan masalah matematika adalah, merupakan salah satu dari strategi pemecahan masalah matematika yang cara memperhatikan kejadian sebelum dan sesudah, kemudian dikaitkan untuk menyelesaikan masalah.

Persegi

Persegi adalah segiempat yang sisinya sama panjang dan mempunyai sudut siku-siku.

Kongruen

Bangun dikatakan kongruen apabila bangun tersebut bentuk dan ukurannya sama.