|
Unit 4
|
Strategi Pemecahan Masalah Heuristik I
(Menyajikan Suatu Masalah)
Sri Harmini
Goenawan Roebyanto
PENDAHULUAN
Unit 4 dari bahan ajar ini merupakan implementasi dari konsep-konsep
yang telah dikaji dari unit-unit terdahulu. Dalam unit ini akan dibahas
mengenai beberapa strategi dalam pembelajaran pemecahan masalah matematika. Seperti
pada unit sebelumnya kita telah mempelajari
hakekat dan proses pemecahan masalah matematika yang meliputi memahami
masalah, menyusun rencana penyelesaian masalah, melaksanakan penyelesaian
masalah, dan meninjau kembali jawaban pemecahan masalah. Pada unit ini akan
dibahas mengenai strategi dalam pemecahan masalah heuristik I, yaitu
membuat gambar atau diagram, membuat
daftar, dan membuat tabel beserta contoh-contohnya dan pemecahan masalahnya.
Kompetensi yang harus dikuasai setelah mempelajari unit ini, Anda harus mampu
menerapkan strategi pemecahan masalah matematika yang terkait dengan strategi
membuat gambar atau diagram, membuat daftar, dan membuat tabel, serta mampu
menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Dengan demikian setelah mempelajari
materi ini, diharapkan mahasiswa mampu:
1).
Mengidentifikasi masalah yang harus dipecahkan;
2). Memecahkan masalah dengan cara membuat gambar atau diagram,
3). Memecahkan
masalah dengan cara membuat daftar masalah, dan
4). Memecahkan masalah dengan cara
membuat tabel.
Unit ini dilengkapi dengan latihan-latihan, agar Anda
dapat semakin memahami konsep yang dipaparkan. Pelajari unit ini dengan tuntas,
kemudian untuk mengetahui tingkat
penguasaaan Anda terhadap materi ini, kerjakan tes formatifnya. Untuk
mengetahui hasil penguasaan Anda. terhadap materi ini, Anda dapat mencocokkan
jawaban Anda dengan kunci jawaban tes formatif yang berada di bagian akhir unit.
Selanjutnya, gunakan rumus yang diberikan dalam umpan balik untuk mengetahui
tingkat penguasaan Anda. Jika penguasaan Anda belum memenuhi standar yang
dipersyaratkan, coba pelajari ulang, terutaama pada konsep-konsep yang belum Anda
pahami dengan benar. Jika Anda mengalami
kesulitan, jangan segan-segan bertanya pada dosen atau rekan Anda yang lebih
mampu. Manfaatkan sumber belajar lain yang mendukung, misalnya bahan ajar
berbasis web yang telah disediakan.
Selamat Belajar,
Semoga Sukses Selalu !
SubUnit 1
Membuat Gambar atau Diagram
Subunit 1 dari Unit 4 akan membahas tentang strategi pemecahan masalah
dengan cara membuat gambar atau diagram dan pemecahan masalahnya disertai
contoh. Strategi pemecahan masalah dengan cara membuat gambar atau diagram merupakan
salah satu dari strategi pemecahan
masalah matematika yang tidak rutin, sehingga perlu ada suatu teknik
penyelesaian yang tepat. Penguasaan prinsip-prinsip dasar dalam pemecahan
masalah harus benar-benar ditaati untuk
menyelesaikan masalah yang berkaitan
tersebut.
Strategi pemecahan masalah ini digunakan untuk
memperjelas hubungan antar komponen masalah yang ada. Strategi ini diupayakan untuk menampilkan masalah ke
dalam bentuk gambar atau diagram, sehingga dapat mempermudah siswa dalam memahami
masalah. Melalui gambar atau diagram, diharapkan siswa mendapatkan gambaran
umum penyelesaian masalahnya. Gambar atau diagram dapat digunakan untuk melacak
berbagai tahapan dari penyelesaian masalah. Untuk membuat gambar atau diagram
ini, kita tidak perlu membuatnya secara
detail, tetapi cukup yang berhubungan dengan permasalahan yang ada. Perhatikan
contoh berikut:
1.
Turnamen/Pertandingan
Delapan regu dari beberapa perkumpulan olahraga akan melakukan pertandingan
dengan menggunakan sistem single elimination
turnamen. Selanjutnya pada akhir turnamen akan diperoleh satu regu/tim sebagai
pemenangnya. (a) Berapa jumlah pertandingan yang harus dimenangkan oleh sebuah
regu/tim untuk menjadi juara? (b) Berapa banyak kesempatan bermain setiap
regu/tim dalam pertandingan ini? (c) Berapa banyak pertandingan untuk mendapatkan
juara I, juara II, dan juara III?
Satu cara yang baik untuk pendekatan masalah/memahami
masalah ini dengan menuliskan apa yang diketahui, yaitu ada 8 regu yang akan mengikuti
pertandingan dengan sistem a single elimination. Kemudian memahami apa yang
ditanyakan, yaitu berapa banyak pertandingan yang dapat dilakukan dalam
menyelengarakan turnamen tersebut? Setelah masalahnya dipahami disusunlah suatu
recana penyelesaian dengan menggambar/menyusun diagram organisasi pertandingan.
Menggunakan simbol seperti (X) untuk menunjukkan suatu tim/regu dan
tanda kurung ( ) yang menggambarkan suatu pertandingan. Untuk itu dapat
digambarkan diagram sebagai berikut:
Putaran ke 1 Putaran
ke 2 Putaran ke 3
|
Juara
|
|
X5
|
|
X6
|
|
X
|
|
X7
|
|
X8
|
|
X
|
|
X1
|
|
X2
|
|
X
|
|
X3
|
|
X4
|
|
X
|
|
X
|
|
X
|
Melalui diagram di atas dapat ditunjukkan cara untuk
menjawab masalah yang harus diselesaikan.
Guna menjawab permasalahan (a), dengan
mencermati diagram tersebut , yaitu : putaran ke 1 terdapat 4 (empat) kali pertandingan, putaran ke 2
terdapat 2 (dua) kali pertandingan, dan
putaran ke 3 (terakhir) terdapat 1 (satu) kali pertandingan yang menghasil 1
(satu) regu sebagai juara. Dengan
demikian banyaknya pertandingan yang dapat diselenggarakan adalah : 4 + 2 + 1 = 7. Jadi jumlah pertandingan yang
dapat dilakukan secara keseluruhan sebanyak 7 (tujuh) kali.
Permasalahan
(b) dapat dijawab dengan mencermati diagram. Oleh karena pertandingan
dilaksanakan yang menang bisa maju, maka setiap regu/tim mendapatkan kesempatan
bermain sebanyak 1 (satu) kali.
Guna
menjawab permasalahan (c), yaitu banyaknya pertandingan untuk menentukan juara
I, II, dan III. Dari diagram tersebut dapat ditunjukkan bahwa untuk banyak
pertandingan untuk mendapatkan juara I dan II ada 10 pertandingan, sedangkan
mendapatkan juara III ditambah dengan 1 kali pertandingan pada putaran II dari
yang kalah, sehingga totalnya ada 11 pertandingan.
2.
Ukuran panjang
Tongkat/batang
Panjang 3 (tiga) tongkat adalah 6 cm, 9 cm, dan 11
cm. Bagaimana caramu menggunakan tongkat-tongkat tersebut untuk mengukur
panjang 14 cm?
Agar masalah ini dapat dipahami dengan mudah oleh siswa,
maka diperlukan suatu strategi pemecahan masalah, yang pertama memahami masalah dengan menuliskan apa yang diketahui,
yaitu tiga tongkat dengan ukuran 6 cm, 9 cm, dan 11 cm. Kemudian memahami apa
yang ditanyakan, yaitu cara mengukur panjang 14 cm dengan menggunakan
tongkat-tongkat tersebut. Selanjutnya menyusun rencana penyelesaian masalah
dengan cara membuat diagram sketsa penempatan tongkat yang bervariasi agar
dapat membantu penyelesaian paling tepat. Di sini terdapat beberapa
kemungkinan, antara lain ada 3 (tiga)
kemungkinan penyelesaian yang dapat ditunjukkan melalui diagram berikut:
|
14 cm
|
|
9 cm
|
|
11 cm
|
|
6 cm
|
|
4 cm
|
|
9 cm
|
|
11 cm
|
|
6 cm
|
|
9 cm
|
|
11 cm
|
|
6 cm
|
|
8 cm
|
b)
c)
Kemungkinan a) dengan menggabungkan dua tongkat ukuran 9
cm dan 6 cm serta dipadankan dengan tongkat ketiga ukuran 11 cm. Ternyata
selisihnya 4 cm, karena ( 9 + 6 ) – 11 = 4. Jawaban
tidak sesuai dengan permasalahan yang ingin dicari yaitu ukuran 14 cm (Salah).
Kemungkinan b) dengan menggabungkan dua tongkat ukuran 11 cm dan 6 cm serta
dipadankan dengan tongkat ketiga ukuran 9 cm. Ternyata selisihnya 8 cm, karena
( 11 + 6 ) – 9 = 8. Jawaban tidak sesuai dengan permasalahan yang ingin dicari
yaitu ukuran 14 cm (salah). Kemungkinan c) dengan menggabungkan dua tongkat
ukuran 9 cm dan 11 cm serta dipadankan dengan tongkat ketiga ukuran 6 cm.
Ternyata selisihnya 14 cm, karena ( 9 + 11 ) – 6 = 14. Jawaban tepat. Sesuai
dengan permasalahan yang ingin dicari yaitu ukuran 14 cm (Benar). Berdasarkan diagram
c) tersebut ternyata dapat ditunjukkan cara menempatkan batang-batang tongkat
untuk mengukur panjang 14 cm. Dengan
demikian kemungkinan ketiga yang menjadi jawaban permasalahan yang dimaksud.
3. Ukuran Volume
Seorang pedagang minyak tanah memiliki tiga takaran
minyak tanah berbentuk tabung dengan ukuran
2 liter, 6 liter, dan 9 liter. Dengan menggunakan ketiga takaran
tersebut, bagaimana cara pedagang minyak tanah melayani pembeli yang memerlukan
5 liter?
Guna memecahkan masalah ini, terlebih dahulu perlu dipahami strategi
pemecahan masalahnya dengan menuliskan apa yang diketahui, yaitu ukuran takaran
minyak tanah berbentuk tabung dengan ukuran
2 liter, 6 liter, dan 9
liter. Kemudian memahami yang ditanyakan, yaitu: kebutuhan pembeli
minyak dengan ukuran 5 liter dengan menggunakan takaran yang tersedia.
Selanjutnya menyusun rencana penyelesaian masalah dengan cara membuat diagram
sketsa pengukuran menggunakan tiga takaran berbentuk tabung tersebut secara
bervariasi agar dapat membantu siswa dalam pemecahan masalah secara tepat. Berikut
digambarkan beberapa kemungkinan yang dapat digunakan untuk pemecahan masalah
tersebut:
|
2 lt
|
|
6 lt
|
|
9 lt
|
a) b)
c)
Berdasarkan
diagram gambar di atas, kemungkinan a) dengan
menggabungkan dua takaran ukuran 9 liter
dan 6 liter serta dibandingkan dengan takaran ketiga ukuran 2 liter. Ternyata
selisihnya 13 liter, karena ( 9 + 6 ) – 2 = 13. Jawaban tidak sesuai dengan
permasalahan yang ingin dicari yaitu ukuran 5 liter (Salah). Kemungkinan b) dengan membandingkan satu takaran ukuran 9 liter dengan dua takaran ukuran 6
liter dan 2 liter yang digabungkan. Ternyata selisihnya 1 liter, karena 9 – ( 6 + 2 ) = 1. Jawaban tidak sesuai
dengan permasalahan yang ingin dicari yaitu ukuran 5 liter (Salah). Kemungkinan
c) dengan menggabungkan dua takaran ukuran 2 liter dan 9 liter serta dibandingkan dengan takaran ketiga
ukuran 6 liter. Ternyata selisihnya 5 liter, karena ( 2 + 9 ) – 6 = 5. Jawaban
tepat. Sesuai dengan permasalahan yang ingin dicari yaitu ukuran 5 liter (Benar).
Berdasarkan diagram c) tersebut ternyata dapat ditunjukkan cara membandingkan
takaran untuk mengukur volume 5 liter. Dengan demikian kemungkinan ketiga yang
menjadi jawaban permasalahan yang dimaksud.
4. Deretan
Di suatu ruangan kelas,
masing-masing siswa mempunyai kursi dan meja. Jumlah kursi setiap baris sama.
Rudi duduk di baris ketiga dari depan dan keempat dari belakang. Di sebelah
kanannya ada 2 siswa dan di sebelah kirinya ada 5 siswa. Berapakah jumlah siswa
di dalam kelas seluruhnya?
|
Siswa
ª
|
|
Siswa
ª
|
|
Siswa
ª
|
|
Siswa
ª
|
|
Siswa
ª
|
|
Rudi
|
|
Siswa
ª
|
|
Siswa
ª
|
|
Siswa
ª
|
|
Siswa
ª
|
|
5 siswa di kiri
|
|
Ke
tiga
dari
depan
|
|
Siswa
ª
|
|
Siswa
ª
|
|
Siswa
ª
|
|
Ke
empat
dari
belakang
|
|
2 siswa di kanan
|
Dari gambar yang telah dibuat,
diperoleh jawaban jumlah baris adalah 6,
jumlah kursi setiap baris 8, sehingga
jumlah seluruh siswa adalah 6 x 8 = 48 orang. Selanjutnya dilakukan pengecekan
kembali hasil yang telah diperoleh
dengan cara menggambar.
@ Latihan
:
Untuk
memantapkan pemahaman Anda terhadap materi di atas, coba kerjakan latihan di
bawah ini!
1. Berapa
banyak pertandingan yang dapat dilakukan oleh 16 regu berkompetisi dengan
menggunakan sistem pertandingan a single
elimination agar diperoleh satu kejuaraan?
2. Bagaimana
caramu menggunakan 4 batang tongkat berukuran 2 cm, 5 cm, 7 cm, dan 9 cm untuk
mengukur panjang 1 cm?
3.
Empat
orang anak sedang membandingkan tinggi badan mereka masing-masing. Tuti lebih tinggi 14 cm daripada Ani. Cica lebih pendek 7
cm daripada Tuti. Lidia lebih tinggi 10
cm daripada Cica. Berapakah selisih tinggi antara Ani dengan Lidia?
F Petunjuk Jawaban Latihan
:
a.
Anda cermati kembali teori
tentang proses pemecahan masalah, yaitu: memahami masalah, menyusun rencana
penyelesaian masalah, melaksanakan penyelesaian masalah, dan meninjau kembali
jawaban pemecahan masalah. Berdasarkan bekal tersebut, Anda dapat memahami
keterkaitan tahap yang satu dengan tahap yang lain.
b.
Pendapat
atau hasil pekerjaan Anda dapat saja berbeda-beda. Anda dapat menerima atau
menolak pendapat tersebut dengan memberikan sejumlah argumentasi. Untuk
memudahkan Anda mengemukakan pendapat, sebaiknya terlebih dahulu Anda kaji
kembali teori proses pemecahan masalah
yang terdahulu kemudian kaitkan dengan materi ini dan materi yang ada pada mata
pelajaran matematika di Sekolah Dasar.
c.
Perhatikan rambu-rambu
jawaban latihan di atas, sebagai berikut:
ÿ
Rangkuman
|
Proses pemecahan masalah matematika mencakup empat
langkah, yaitu: (1) memahami
masalah; (2) merencanakan pemecahan masalah; (3) melaksanakan pemecahan
masalah; (4) meninjau atau mengecek kembali
jawaban yang telah diperoleh. Proses
pemecahan masalah ini dilakukan secara terbimbing, agar siswa mampu secara
heuristik menemukan sendiri jawaban dari masalah yang dipecahkan. Salah
satu strategi pemecahan masalah matematika secara heuristik adalah dengan cara
membuat gambar atau diagram, dimaksudkan untuk membantu siswa dalam
memecahkan masalah dengan cara menyederhanakan masalah melalui gambar atau
diagram. Penentuan strategi pemecahan masalah matematika dengan membuat
gambar atau diagram diterapkan setelah memahami masalah, kemudian
dilaksanakan saat menyusun rencana pemecahan masalah.
|
@ TES FORMATIF 1
Kerjakan tes formatif ini untuk
mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi strategi pemecahan masalah matematika dengan
cara membuat gambar atau diagram sesuai dengan langkah yang telah Anda pahami.
1.
Dalam suatu kompetisi futsal antar siswa
SD, akan diikuti oleh 16 regu. Sistem pertandingan yang digunakan adalah system gugur dan
pemenang terakhir akan menjadi juara.
Berapa banyaknya pertandingan yang harus dimenangkan oleh sebuah regu agar
dapat menjadi juara?
A. 12
pertandingan
B. 13
pertandingan
C. 14
pertandingan
D. 15
pertandingan
2.
Suatu pertandingan sepakbola yang diikuti
20 peserta, dan menggunakan sistemgugur, serta adanya babak penyisihan
(pendahuluan), maka banyaknya pertandingan sehingga mendapatkan sang juara saja
adalah ….
A. 17
pertandingan
B. 18
pertandingan
C. 19
pertandingan
D. 20
pertandingan
3.
Seorang tukang kayu mampu memotong kayu
menjadi 6 bagian dalam waktu 15 menit. Berapakah
waktu yang dibutuhkan untuk memotong kayu menjadi 12 bagian?
A.
25 menit
B.
30 menit
C.
35 menit
D.
40 menit
4.
Pak Raden berusia 38 tahun dan anaknya
berusia 8 tahun. Berapa tahun lagi usia Pak Raden akan menjadi 3 kali usia
anaknya?
A. 7 tahun
B. 8 tahun
C. 9 tahun
D. 10 tahun
5.
Pak Ryan menjual 3 jam
tangan dengan harga Rp 1.680.000,- atau 5 jam tangan dengan harga Rp 2.680.000,-.
Dengan
penjualan tersebut Pak Ryan mendapatkan keuntungan yang sama. Apabila Pak Ryan menjual
16 jam tangan, berapa keuntungan yang diperolehnya?
A. Rp 700.000,-
B. Rp 720.000,-
C. Rp 740.000,-
D. Rp 800.000,-
6.
Di suatu kelas terdapat 38 orang siswa, 20
orang menyukai pelajaraan Bahasa Indonesia, 24 orang menyukai pelajaran
Matematika, dan 4 orang tidak menyukai kedua pelajaran tersebut. Berapa jumlah
siswa yang menyukai kedua pelajaran tersebut?
A. 8 orang
siswa
B. 9 orang
siswa
C. 10 orang
siswa
D. 12 orang
siswa
7.
Suatu lomba lari
diikuti oleh 5 peserta. Urutan pelari
yang masuk garis finis adalah Rizki, Pasha, Arief, Doni, dan Edi. Rizki masuk
finis 7 detik setelah Arief. Pasha masuk
finis 6 detik sebelum Doni. Edi masuk finis 8 detik sebelum Doni. Arief masuk
finis 2 detik setelah Pasha. Tentukan urutan mereka berlima masuk finis!
A.
Pasha, Edi, Doni,
Arief, dan Rizki
B.
Edi, Pasha, Doni,
Arief, dan Rizki
C.
Doni, Edi, Pasha,
Rizki, dan Arief
D.
Edi, Pasha, Arief,
Doni, dan Rizki
8.
Harga keseluruhan dari
6 pasang kaos kaki dan 14 pasang sandal adalah Rp. 96.000,-. Apabila harga
sepasang kaos kaki dengan sepasang sandal adalah Rp. 8.000,-, maka harga
sepasang kaos kaki adalah …….
A.
Rp. 2.000,-
B.
Rp. 3.000,-
C.
Rp. 4.000,-
D.
Rp. 5.000,-
9.
Tiga container berisi
air mempunyai kapasitas 3, 5, dan 9 liter. Bagaimana Anda bisa menggunakan
container tersebut untuk mengukur 7 liter air secara tepat?
A.
5 liter + 9 liter – 3
liter
B.
9 liter – 5 liter + 3
liter
C.
9 liter + 3 liter – 5
liter
D.
9 liter + 5 liter – 3
liter
10.
Anita membayar Rp. 20.000,-
untuk 12 kue bikang dan 2 kue bolu. Eny membayar Rp. 14.000,- untuk 4 kue
bikang dan 2 kue bolu. Maka harga kue bikang adalah ……
A.
Rp. 650,-
B.
Rp. 750,-
C.
Rp. 850,-
D.
Rp. 950,-
SubUnit 2
Membuat Daftar
Strategi pemecahan masalah matematika yang berikutnya
dengan cara Membuat Daftar. Strategi
pemecahan masalah matematika ini digunakan untuk berbagai tujuan. Strategi pemecahaan masalah matematika dengan cara membuat daftar dilakukan dengan
mengelompokkan informasi ke dalam beberapa
tipe pada suatu daftar. Ketika kita akan
menyelesaikan suatu masalah dengan jumlah
data yang besar akan digeneralisasi,
sebuah daftar dapat membantu menghitung berbagai kemungkinan dan menghindari
terjadinya pengulangan. Perhatikan contoh berikut:
1.
Sasaran Target (Mata Sapi)
“Arjuna”
memiliki kegemaran memanah, dengan diberi tiga
anak panah oleh orang tuanya. Target/sasaran panah diberi skor seperti
berikut.
|
2
|
|
5
|
|
10
|
Berapa banyak kemungkinan jumlah nilai
yang dapat dikumpulkan Arjuna, jika lemparannya tepat dan tidak ada yang
meleset dari sasaran?
Seperti
proses pemecahan masalah yang terdahulu,
selalu diawali dengan memahami masalah, dengan memaparkan apa yang diketahui,
yaitu: tiga anak panah kecil dilempar dan setiap kali dilempar diperoleh salah
satu angka, yaitu 2, 5, atau 10; Nilai yang diperoleh adalah jumlah dari ketiga
nilai, sedangkan yang ditanyakan adalah banyaknya kemungkinan total nilai yang
dapat diperoleh. Proses berikutnya menyusun rencana pemecahan masalah dengan
menggunakan strategi pemecahan masalah
matematika dengan cara menyusun daftar. Langkahnya dengan mengelompokkan mulai
dari nilai yang tertinggi, seperti berikut:
3 nilai tertinggi dari hasil lemparan
anak panah, yaitu: 10 + 10 + 10 =
30;
2 nilai tertinggi dari hasil lemparan
anak panah, yaitu: 10 + 10 + 5 = 25,
10 + 10 + 2 = 22;
1 nilai tertinggi dari hasil lemparan
anak panah, yaitu: 10 + 5 +
5 = 20,
10
+ 5 +
2 = 17,
10
+ 2 +
2 = 14;
0 nilai tertinggi dari hasil lemparan
anak panah, yaitu: 5
+ 5 +
5 = 15, 5 +
5 + 2 = 12,
5 + 2
+ 2 =
9,
2 + 2
+ 2 =
6.
Berdasarkan daftar di atas, diperoleh
ada 10 kemungkinan mendapatkaan total nilai yang terjadi.
2.
Kartu Domino
Sebuah kartu domino
memiliki dua petak persegi. Setiap petak pada kartu ditandai dengan bilangan 1,
2, 3, 4, 5, 6, atau kosong, dan angka yang digunakan untuk mengisi petak dapat
berbeda, atau sama dengan angka yang sudah ada pada petak. Berapa banyak kartu
di dalam satu set kartu tersebut?
Agar masalah tersebut di atas
dapat dengan mudah dipahami siswa, perlu disusun suatu strategi pemecahan
masalah yang diawali dengan mengidentifikasi apa yang diketahui, yaitu: a)
bagian muka kartu terdiri dari 2 (dua) petak persegi yang akan diisi oleh 7 macam
jendolan (titik) yang banyaknya 1, 2, 3, 4, 5, 6 atau kosong pada setiap
petaknya; b) Satu set kartu terdiri dari kartu-kartu kombinasi dari banyaknya
jendolan (titik) pada dua petak persegi tersebut. Permasalahan yang muncul adalah banyaknya kartu dalam satu set kartu.
Setelah
diidentifikasi, maka direncanakan penyelesaian masalahnya dengan membuat daftar
secara urut mengenai kombinasi banyaknya jendolan (titik) pada setiap kartu,
seperti pada daftar berikut:
|
Banyaknya titik
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Kosong
|
:
|
|
|
,
|
|
1
|
,
|
|
2
|
,
|
|
3
|
,
|
|
4
|
,
|
|
5
|
,
|
|
6
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Satu
|
:
|
1
|
1
|
,
|
1
|
2
|
,
|
1
|
3
|
,
|
1
|
4
|
,
|
1
|
5
|
,
|
1
|
6
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Dua
|
:
|
2
|
2
|
,
|
2
|
3
|
,
|
2
|
4
|
,
|
2
|
5
|
,
|
2
|
6
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Tiga
|
:
|
3
|
3
|
,
|
3
|
4
|
,
|
3
|
5
|
,
|
3
|
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Empat
|
:
|
4
|
4
|
,
|
4
|
5
|
,
|
4
|
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Lima
|
:
|
5
|
5
|
,
|
5
|
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Enam
|
:
|
6
|
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Dari daftar yang telah dibuat di atas, ada
28 kemungkinan kartu yang dapat dibuat.
Apakah jawaban ini benar atau masuk akal,
maka perlu dilakukan pengecekan kembali jawaban. Tanpa membedakan letak titik
di kanan atau di kiri, sehingga banyaknya kartu pada satu set kartu adalah 7 +
6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28. Jadi banyaknya kartu 28 kartu.
3.
Menyusun huruf (Kata
Sandi)
Berapa
banyak susunan kata sandi dapat dibuat dari tiga huruf yang berbeda dengan
mengunakan huruf P, Q, dan R, jika tidak boleh ada huruf yang diulang?
Untuk menyelesaikan
masalah ini perlu diidentifikasi banyaknya kemungkinan kata sandi secara
keseluruhan yang menggunakan tipe khusus pada daftar pengelompokkan, yang
disebut DIAGRAM POHON. Teknik mendaftar ini dapat membantu siswa memahami
masalah, dengan menggunakan garis hubungan pada pohon (cabang/ranting). Dari
diagram yang dibuat dengan segera dapat
ditunjukkan baanyaknya kemungkinan susunan yang terjadi. Susunan huruf P, Q, R yang dimaksud dapat ditunjukkan
seperti pada diagram pohon berikut:
|
P
|
|
Q
|
|
R
|
|
Q
|
|
R
|
|
Q
|
|
P
|
|
R
|
|
P
|
|
R
|
|
R
|
|
P
|
|
Q
|
|
P
|
|
Q
|
PQR PRQ QPR QRP RPQ RQP
Berdasarkan daftar pengelompokan tiga
huruf menjadi kata sandi dengan tanpa melakukan pengulangan menggunakan diagram
pohon di atas, dapat ditunjukkan 6 kemungkinan banyaknya susunan kata sandi
berbeda yang terjadi.
Untuk mengecek kembali
jawaban Anda benar atau salah dapat dilakukan dengan mengisi petak-petak
kemungkinan berikut:
|
3
p/q/r
|
|
2
|
|
1
|
|
I
|
|
II
|
|
III
|
Kemungkinan mengisi petak I = 3 huruf;
Kemungkinan mengisi petak II = 2 huruf
Kemungkinan mengisi petak III = 1 huruf.
Jadi banyaknya
kemungkinan kata sandi yang terdiri dari tiga huruf sebanyak 3 x 2 x 1 = 6
kemungkinan.
@ Latihan :
Untuk
memantapkan pemahaman Anda terhadap materi di atas, coba kerjakan latihan di
bawah ini!
1.
Deny
melempar anak panah pada suatu papan sasaran yang memiliki nilai 3, 4, dan 9.
Berapa banyak kemungkinan jumlah nilai yang dapat dikumpulkan Deny, jika
lemparannya tepat dan tidak ada yang meleset dari sasaran?
2.
Beberapa
set kartu domino antik yang memiliki dua petak persegi. Setiap petak pada kartu
ditandai dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan kosong. Satu set kartu
lengkap terdiri dari sebuah kartu untuk kombinasi banyaknya angka yang
memungkinkan. Berapa banyak kartu di dalam satu set kartu lengkap tersebut?
3.
Berapa banyak susunan kata
yang terjadi dari huruf R, A, I, N. Jika
diperboleh ada pengulangan huruf?
F Petunjuk Jawaban Latihan
:
1.
Anda cermati kembali teori
tentang proses pemecahan masalah, yaitu memahami masalah, menyusun rencana
penyelesaian masalah, melaksanakan penyelesaian masalah, dan meninjau kembali
jawaban pemecahan masalah. Berdasarkan bekal tersebut, Anda dapat memahami
keterkaitan tahap yang satu dengan tahap yang lain.
2.
Pendapat
atau hasil pekerjaan Anda dapat saja berbeda-beda. Anda dapat menerima atau
menolak pendapat tersebut dengan memberikan sejumlah argumentasi. Untuk memudahkan
Anda mengemukakan pendapat, sebaiknya terlebih dahulu Anda kaji kembali
teori proses pemecahan masalah yang
terdahulu kemudian kaitkan dengan materi ini dan materi yang ada pada mata
pelajaran matematika di Sekolah Dasar.
3.
Perhatikan rambu-rambu jawaban
latihan di atas, sebagai berikut:
ÿ
Rangkuman
|
Strategi pemecahan masalah matematika yang
kedua dengan cara membuat daftar,
dimaksudkan untuk membantu siswa dalam memecahkan masalah dengan cara
mengelompokkan informasi dalam suatu daftar. Penentuan strategi pemecahan
masalah matematika dengan membuat daftar diterapkan setelah memahami
masalah, kemudian dilaksanakan saat menyusun rencana pemecahan masalah.
|
@ TES FORMATIF 2
Kerjakan
tes formatif ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda. terhadap materi strategi pemecahan masalah matematika dengan
topik Membuat Daftar.
1.
Hendra mempunyai 1 baju warna putih, 1
baju warna kehitam-hitaman, satu pasangan celana warna abu-abu, satu pasangan
celana warna hitam, satu pasangan celana warna biru. Satu jaket olahraga kain,
dan satu jaket olahraga wool. Berapa banyak kemungkinan tiga lembar perlengkapan
dapat dibuat jika tiap perlengkapan disepakati menggunakan satu baju, satu
pasang celana dan satu jaket?
2.
Tiga buah anak panah dilempar sehingga mengenai papan sasaran yang memiliki nilai 4, 6, dan 8. Berapa banyak kemungkinan
jumlah nilai yang dapat diperoleh, jika tiga buah anak panah tidak harus
mengenai sasaran? (Jika anak panah tidak mengenai sasaran bernilai nol)
3.
Berapa banyaknya bilangan yang lebih dari 5000 menggunakan angka 1, 5, 7, dan 9
dengan tidak ada angka yang berulang?
4.
Berapa banyak susunan berbeda yang dapat
dibuat dari empat huruf A, D, E, R. jika tidak boleh ada pengulangan
huruf?
5.
Tentukan banyaknya kemungkinan menuliskan bilangan 12 sebagai bentuk
penjumlahan tiga buah bilangan cacah yang berbeda?
SubUnit 3
Membuat
Tabel
Subunit 3 dari
unit 4 akan membahas tentang strategi pemecahan masalah dengan cara membuat
tabel dan pemecahan masalahnya disertai
contoh. Strategi pemecahan masalah dengan cara membuat tabel merupakan salah
satu dari strategi pemecahan masalah
matematika yang efektif untuk menyusun data yang memiliki lebih dari satu
karakter ke dalam sebuah tabel. Tampilan tabel akan dapat mempermudah
pengelompokkannya, sehingga dengan jelas dan mudah dapat diketahui data yang
belum ada atau data yang hilang. Tabel
juga dapat digunakan untuk mencari pola yang muncul dalam satu soal, sehingga
dapat mempermudah untuk mendapatkan jawabannya.
Seperti pada strategi pemecahan masalah yang
terdahulu, langkah pemecahan masalah matematika diawali dengan memahami
masalah, menyusun rencana penyelesaian masalah, melaksanakan penyelesaian
masalah, dan meninjau kembali jawaban pemecahan masalah. Strategi pemecahaan
masalah matematika dengan cara membuat
tabel diawali dengan pemahaman masalah, yaitu memahami apa yang diketahui dan
ditanyakan. Untuk menyusun recana penyelesaian dilanjutkan dengan cara membuat
tabel, kemudian mengelompokkan data, memasukkan data ke dalam tabel.
Selanjutnya melalui tabel yang telah dibuat dapat ditemukan jawaban dari
masalah. Untuk mengetahui benar atau tidaknya jawaban dari masalah, perlu
dikaji kembali dan dicek kebenarannya dengan cara lain. Perhatikan
contoh berikut:
1.
Nilai tukar uang
Reni mempunyai uang Rp. 100.000,00 yang
terdiri dari lembaran uang Rp. 10.000,00 dan lembaran uang Rp. 5.000,00. Berapa
banyaknya kemungkinan lembaran uang yang dimiliki Reni?
Untuk
menyelesaikan masalah ini, langkah pertama
memahami masalahnya, yaitu ada dua jenis mata uang sepuluh ribuan dan lima ribuan, jumlah nilai
uang secara keseluruhan Rp.100.000,00. Diminta menentukan banyaknya kemungkinan
jumlah lembaran uang yang tersusun. Kedua, membuat tabel, ketiga menyusun data untuk dimasukkan ke
dalam tabel. Perhatikan tabel berikut:
|
No.
|
Rp.
10.000,00
|
Rp.
5.000,00
|
Jumlah
nilai uang
|
Jumlah
lembaran
|
|
1.
|
1
|
18
|
Rp. 100.000,00
|
19
|
|
2.
|
2
|
16
|
Rp. 100.000,00
|
18
|
|
3.
|
3
|
14
|
Rp. 100.000,00
|
17
|
|
4.
|
4
|
12
|
Rp. 100.000,00
|
16
|
|
5.
|
5
|
10
|
Rp. 100.000,00
|
15
|
|
6.
|
6
|
8
|
Rp. 100.000,00
|
14
|
|
7.
|
7
|
6
|
Rp. 100.000,00
|
13
|
|
8.
|
8
|
4
|
Rp. 100.000,00
|
12
|
|
9.
|
9
|
2
|
Rp. 100.000,00
|
11
|
Dari tabel yang telah dibuat, ada 9
kemungkinan kombinasi uang sepuluh ribuan dan lima ribuan yang menghasilkan nilai uang Rp.
100.000,00.
Untuk mengecek kembali jawaban Anda
benar atau salah dapat dilakukan dengan mengecek data yang ada dalam
tabel.yaitu: setiap menambahkan satu lembar sepuluh ribuan, maka uang lima
ribuan berkurang 2 lembar, sampai akhirnya banyaknya uang lima ribuan hanya
tinggal 2 dan lembaran uang sepuluh ribuan sebanyak 9 lembar. Setiap komposisi
perbandingan bernilai Rp. 100.000,00. Jadi banyaknya kemungkinan lembaran uang
sepuluh ribuan dan lima
ribuan untuk memenuhi uang Rp. 100.000,00 ada 9 kemungkinan.
2.
Mengetos/melempar Dadu
Doni melempar dua buah dadu yang
masing-masing permukaannya memiliki mata dadu (titik) sebanyak 1 sampai dengan
6. Berapa kemungkinan dua mata tersebut berjumlah 7?
Guna
menyelesaikan masalah ini, pemahaman terhadap masalah tidak hanya dibutuhkan
penentuan berapa banyak kemungkinan muncul dua angka yang berbeda, tetapi juga
menentukan kemungkinan banyaknya cara dua dadu membentuk posisi dengan jumlah
nilai mata dadu yang sama, yaitu 7. Kemudian dalam penyusunan rencana
penyelesaian dibutuhkan tabel untuk menampilkan data banyaknya kemungkinan yang
muncul dari dua dadu tersebut. Adapun tabelnya seperti berikut:
|
No.
|
Dadu 1
|
Dadu 2
|
Jumlah
nilai
|
|
1.
|
1
|
6
|
7
|
|
2.
|
2
|
5
|
7
|
|
3.
|
3
|
4
|
7
|
|
4.
|
4
|
3
|
7
|
|
5.
|
5
|
2
|
7
|
|
6.
|
6
|
1
|
7
|
Dari tabel yang telah dibuat, ada 6 kemungkinan
kombinasi yang menghasil dua mata dadu berjumlah 7.
Untuk mengecek kembali jawaban Anda benar atau salah
dapat dilakukan dengan mengecek data yang ada, yaitu: dengan mengkombinasikan
mata dadu yang kesatu dengan mata dadu kedua agar menghasilkan jumlah nilai 7.
Diperoleh banyaknya kemungkinan mata dadu bernilai 7 sebanyak 6 kemungkinan.
3.
Hewan piaraan
Ibu Ani memelihara ayam dan kambing sebanyak
25 ekor. Jika banyaknya kaki hewan piaraan tersebut 66 buah, berapa ekor
masing-masing hewan piaraan Ibu Ani?
Agar
penyelesaian masalah ini dapat dilakukan dengan mudah, perlu dilakukan
pemahaman masalah yaitu jumlah ayam dan kambing sebanyak 25 ekor. Kemudian
menyusun rencana penyelesaian masalah dengan cara mengelompokkan banyaknya kaki
dari masing-masing hewan, yaitu ayam memiliki dua kaki sedangkan kambing
memiliki empat kaki. Selanjutnya dibuatlah tabel seperti berikut:
|
No.
|
Banyaknya
|
Banyaknya
|
Jumlah
|
|||
|
Ayam
|
Kaki Ayam
|
Kambing
|
Kaki Kambing
|
Ayam dan Kambing
|
Kaki Ayam dan Kambing
|
|
|
1.
|
1
|
2
|
24
|
96
|
25
|
98
|
|
2.
|
2
|
4
|
23
|
92
|
25
|
96
|
|
3.
|
3
|
6
|
22
|
88
|
25
|
94
|
|
4.
|
4
|
8
|
21
|
84
|
25
|
92
|
|
5.
|
5
|
10
|
20
|
80
|
25
|
90
|
|
6.
|
6
|
12
|
19
|
76
|
25
|
88
|
|
7.
|
7
|
14
|
18
|
72
|
25
|
86
|
|
8.
|
8
|
16
|
17
|
68
|
25
|
84
|
|
9.
|
9
|
28
|
16
|
64
|
25
|
82
|
|
10.
|
10
|
20
|
15
|
60
|
25
|
80
|
|
11.
|
11
|
22
|
14
|
56
|
25
|
78
|
|
12.
|
12
|
24
|
13
|
52
|
25
|
76
|
|
13.
|
13
|
26
|
12
|
48
|
25
|
74
|
|
14.
|
14
|
28
|
11
|
44
|
25
|
72
|
|
15.
|
15
|
30
|
10
|
40
|
25
|
70
|
|
16.
|
16
|
32
|
9
|
36
|
25
|
68
|
|
17.
|
17
|
34
|
8
|
32
|
25
|
66
|
|
18.
|
18
|
36
|
7
|
28
|
25
|
64
|
|
19.
|
19
|
38
|
6
|
24
|
25
|
62
|
|
20.
|
20
|
40
|
5
|
20
|
25
|
60
|
|
21.
|
21
|
42
|
4
|
16
|
25
|
58
|
|
22.
|
22
|
44
|
3
|
12
|
25
|
56
|
|
23.
|
23
|
46
|
2
|
8
|
25
|
54
|
|
24.
|
24
|
48
|
1
|
4
|
25
|
52
|
Dari tabel yang telah dibuat,
diperoleh jawaban pada urutan ke tujuh belas terdapat satu pasangan ayam dan
kambing yang memenuhi permasalahan, yaitu ayam sebanyak 17 ekor dan kambing sebanyak 8 ekor.
Untuk mengecek kembali jawaban Anda
benar atau salah dapat dilakukan dengan mengecek data yang ada, yaitu: dengan
mengkombinasikan ayam dan kambing pada masing-masing urutan yang memiliki
jumlah kaki sebanyak 66 buah. Dari kombinasi tersebut diperoleh hanya satu
kemungkinan jumlah ayam dan kambing = 25
ekor dan jumlah kakinya = 66 buah.
@ Latihan :
Untuk
memantapkan pemahaman Anda terhadap materi di atas, coba kerjakan latihan di
bawah ini!
1.
Seorang pengrajin mebel
membuat beberapa meja berkaki tiga dan beberapa kursi berkaki empat. Jumlah
meja dan kursi yang ada sebanyak 24 buah. Berapa banyaknya masing-masing meja
berkaki tiga dan kursi berkaki empat yang dibuat pengrajin tersebut?
2.
Berapa banyaknya kemungkinan diperoleh seseorang dalam menukar
uang Rp. 50.000,00 yang ditukar dengan uang Rp.1.000,00; Rp.5.000,00;
Rp.10.000,00; Rp. 20.000,00. Pecahan uang boleh lebih dari satu.
3.
Sebuah persegi panjang
mempunyai keliling 32 cm. Tentukan berapa banyak persegi panjang yang mungkin
dapat dibuat jika panjang tiap sisinya merupakan bilangan asli?
F Petunjuk Jawaban Latihan
:
1.
Anda cermati kembali teori
tentang proses pemecahan masalah, yaitu ada 4 (empat) tahap. Berdasarkan bekal
tersebut, Anda dapat memahami keterkaitan tahap yang satu dengan tahap yang
lain.
2.
Pendapat
atau hasil pekerjaan Anda dapat saja berbeda-beda. Anda dapat menerima atau
menolak pendapat tersebut dengan memberikan sejumlah argumentasi. Untuk
memudahkan Anda mengemukakan pendapat, sebaiknya terlebih dahulu Anda kaji
kembali teori proses pemecahan masalah
yang terdahulu kemudian kaitkan dengan materi ini dan materi yang ada pada mata
pelajaran matematika di Sekolah Dasar.
ÿ
Rangkuman
|
Strategi pemecahan masalah
matematika yang ketiga dengan cara
membuat tabel, dimaksudkan untuk membantu siswa dalam memecahkan masalah
secara efektif terutama data yang memiliki lebih dari satu karakter dengan
memasukkannya kedalam sebuah tabel. Melalui tabel dapat dengan segera
diketahui data yang hilang atau data yang belum ada, sehingga dapat dengan
jelas dan mudah pengelompokkannya. Tabel juga dapat digunakan untuk mencari
pola yang muncul dalam suatu permasalahan, sehingga dapat dengan mudah
diperoleh jawabannya. Penentuan strategi pemecahan masalah matematika
dengan membuat tabel diterapkan saat memahami masalah, kemudian
dilaksanakan saat menyusun rencana pemecahan masalah.
|
@ TES FORMATIF 3
Kerjakan
tes formatif ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda. terhadap materi strategi pemecahan masalah matematika
topik Membuat Tabel
1. Diatas
meja ada 20 keping campuran uang logam seratusan dan dua ratusan. Nilai total
uang tersebut adalah Rp. 3.200,00. Ada
berapa keping uang logam seratusan dan berapa keping uang logam dua ratusan?
2. Seorang pengusaha bengkel merakit sepeda dan becak.
Jika tersedia 50 sadel dan 133 roda, berapa banyaknya masing-masing sepeda dan
becak yang dapat terakit lengkap?
3. Pak Udin membuat kebun yang salah satu sisinya
berdampingan dengan kebun milik tetangganya yang sudah diberi pagar. Ia akan
memagari kebunnya menggunakan kawat yang panjangnya 48 m. Berapakah luas
maksimum kebun yang dapat dibuat oleh Pak Udin?pagari
4. Tiga buah dadu ditos untuk memperoleh cacah mata dadu
yang muncul. Berapa banyaknya kemungkinan mucul mata dadu bernilai ≥17?
5. Berapa banyak segitiga samakaki yang mempunyai
keliling 37 cm dengan sisinya bilangan bulat positif?
GLOSARIUM
|
Masalah
|
sesuatu yang timbul akibat adanya “rantai yang
terputus” antara keinginan dan cara mencapainya.
|
|
Memahami
masalah
|
langkah
dalam strategi pemecahan masalah yang meliputi kegiatan menentukan unsur yang
diketahui dari soal. Menentukan unsure yang ditanyakan soal, menentukan
informasi yang diperlukan soal, dan menentukan cara untuk menyelesaikan soal.
|
|
Membuat
gambar dan diagram
|
langkah
dalam strategi pemecahan masalah yang menggunakan gambar untuk memperjelas
masalah dan penyelesaiannya.
|
|
Membuat
daftar
|
langkah
dalam strategi pemecahan masalah yang memanfaatkan daftar sajian data yang
harus diselesaikan agar dengan cepat dan mudah diselesaikan.
|
|
Membuat
tabel
|
langkah
dalam strategi pemecahan masalah yang meliputi kegiatan menentukan strategi
pemecahan masalah yang sesuai dengan soal.
|
|
Merencanakan
penyelesaian :
|
langkah
dalam strategi pemecahan yang meliputi kegiatan mementukan dan mengecek
kembali hasil jawaban, menginterpretasikan jawaban, mengidentifikasi
alternative/cara lain untuk menjawab soal atau alternatif jawaban lain yang
mungkin dapat digunakan menjawab soal.
|
|
Proses
pemecahan masalah
|
langkah-langkah
yang harus dilalui dalam pemecahan masalah.
|
|
Pemecahan
masalah:
|
proses
yang ditempuh oleh seseorang untuk menyelesaikan masalah yang dihadapinya
sampai masalah tersebut tidak lagi menjadi masalah baginya.
|
|
Strategi
Heuristik
|
Strategi
pemecahan masalah yang diarah agar siswa mampu menemukan jawaban permasalahan
yang harus diselesaikan. Penemuan jawaban ini dapat dilakukan secara
terbimbing dan atau ditemukan secara mandiri.
|
|
A Single
elemination
|
Sistem
gugur, setiap regu/tim jika sekali bertanding dinyatakan kalah, tidak dapat
bertanding lagi.
|
DAFTAR RUJUKAN
Hudojo,
H, 2001, Pengembangan Kurikulum dan
Pembelajaran Matematika. Malang:
Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Malang.
Kaur
B, 2008. Problem Solving in the
Mathematics Classroom (Secondary). Singapore: Foong
Yuet Foong.
Lam,
T.Y, Seng, Q.K, Guang, T.E. 2008. Problem
Solving in the Mathematics Classroom (Junior College). Singapore:
Foong Yuet Foong.
Lenchner,
G. 2005. Creative Problem Solving in
School Mathematics. Bellmore,
NY: Mathematicsal Olympiads for
Elementary and Middle School s Inc.
Leng,
W.Ng. 2008. Problem Solving Heuristics
For Primary School Mathematics. A Comprehensive Guide. Singapore:
Printice Hall : Pearson.
Skemp,
R. 1992. The Psychology of Learning
Mathematics. USA:
Hazel Watson Ltd.
Tim
Supermath. 2007. Strategi Pemecahan
Masalah Matematika SD. Jakarta:
Literatur Media Sukses.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar